「完…完成了！」
小向畫完了魔法陣，而紅色果實也隨之消失。魔力也漸漸回到了小向以及希爾伯特身體。然而……
「太慢了喲，小向。」
不知不覺間，小向、希爾伯特以及小向的師父上出現了一個巨大的魔法陣。

「在你慢慢吞吞的時候，我已經構築好了如~此大的魔法陣喲。這個魔法陣就是我的最終目的：他會把你們兩個的魔力轉移到我的身上，我就會成為不可一世的大魔導士了喲！」
露出真面目的師父講話變得愈來愈噁心了。

不過這個魔法陣還沒構築完全，小向的師父仍然在傾注全力構築魔法陣。看來只要攻擊術者，魔法陣便會消失，小向如此想道。於是，小向衝到了師父身邊，試圖使出近身攻擊魔法。沒想到小向的師父周遭突然出現了光牆。

「你以為我為毫無防備嗎？太天真了喲！」

話雖如此，小向一眼識破了，這是市售的防禦用魔法道具。看來為了構築魔法陣，師父也無暇挪出多餘的精力以及魔力防禦了。

市售的防禦用魔法道具共有$N$種模式。為了避免敵人深入解析術式進而破壞道具，這個魔法道具建出的光牆每被攻擊一次就會隨機切換模式(也有可能不切換)並反彈傷害。具體地說，每被攻擊一次後，魔法道具的$N$種模式出現的機率都一樣。小向雖然對這個魔法道具有一定的認識，但她也沒有十足的把握一定能破解魔法道具的光牆。具體來講，對於$N$種模式，小向破解光牆的機率分別是$P_0,P_1,\dots ,P_{N-1}$。如果成功破解了，那麼小向就能攻擊師父消除魔法陣。如果失敗了，光牆就會隨機進入$N$種模式中的其中一種。而小向還留有嘗試破解$K$次的魔力。如果嘗試了$K$次之後小向仍然沒成功，那麼就只有死路一條了。

聰明的小向當然看得出來當前光牆的模式是哪一個模式。不過破解光牆的機率有高有低，如果遇到破解機率太低的光牆，小向當然希望光牆重新切換模式。在這種情況下，小向可以選擇攻擊光牆使得光牆切換模式(當然也有可能不切換)。不過如果攻擊不當，就會被光牆反彈的傷害波及，倒地不起。攻擊光牆而不被波擊的成功機率和小向所剩下的魔力有關係。具體地說，如果小向還有$i$次嘗試的魔力，那麼成功機率便是$\frac{i}{K+1}$ 。請注意：如果小向失敗的話，她就不能再進行任何嘗試，也就是說只有死路一條了。不過背著如此風險當然也會有相對應的收穫。如果成功的話，小向會從光牆反彈的魔力中多獲得$U$次嘗試的魔力。然而，不論如何，小向最多只能保有嘗試$K$次的魔力，多出來的魔力便會消散在大氣中。

聰明的小向當然希望採取最佳的策略，在適當的時機讓光牆切換模式。請你幫忙小向找出最佳的策略。方便起見，你只需要計算最佳策略下小向成功破解光牆的機率。